复习——数学篇

线性代数

行列式

1、行列式性质及计算

①互换行（列），变号：交换行列式的两行（列），行列式的值变号。比如$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ ，交换两行得$\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{11}&a_{12}\end{vmatrix}=-D$ 。

②提公因子：行列式某一行（列）的所有元素都有公因子$k$ ，可把$k$提到行列式外面。即若$D=\begin{vmatrix}ka_{11}&ka_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ ，则$D = k\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ 。

③倍加：把行列式某一行（列）的元素乘以数$k$后加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变。比如$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ ，第一行乘$k$加到第二行，得$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}+ka_{11}&a_{22}+ka_{12}\end{vmatrix}=D$ 。

④拆分：若行列式某一行（列）的元素都是两数之和，可拆成两个行列式之和。如$D=\begin{vmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ ，则$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}$ 。

⑤对应成比例，值为零：若行列式有两行（列）对应元素成比例，行列式的值为$0$ 。比如$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ka_{11}&ka_{12}\end{vmatrix}$ ，两行成比例，$D = 0$ 。

2、行列式展开、范德蒙行列式

定义

• 余子式 $\boldsymbol{M_{ij}}$：去掉行列式中元素 $\boldsymbol{a_{ij}}$ 所在的第 $\boldsymbol{i}$ 行和第 $\boldsymbol{j}$ 列，剩余元素构成的新行列式。
• 代数余子式 $\boldsymbol{A_{ij}}$：$\boldsymbol{A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}}$ （符号由元素位置的行标 $\boldsymbol{i}$、列标 $\boldsymbol{j}$ 决定 ）。

按行展开
对 $n$ 阶行列式 $D$，取第 $\boldsymbol{i}$ 行（$i = 1,2,\dots,n$ ），有： $\boldsymbol{D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}}$ 其中，$\boldsymbol{a_{ij}}$ 是行列式第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$\boldsymbol{A_{ij}}$ 是 $\boldsymbol{a_{ij}}$ 的代数余子式（$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ ，$M_{ij}$ 为余子式 ）。

按列展开 对 $n$ 阶行列式 $D$，取第 $\boldsymbol{j}$ 列（$j = 1,2,\dots,n$ ），有： $\boldsymbol{D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}}$ 同理，$\boldsymbol{a_{ij}}$ 是行列式第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$\boldsymbol{A_{ij}}$ 是对应代数余子式 。

矩阵

1、矩阵的三则运算

行列式 $D=\begin{vmatrix}1&2&3\\1&3&4\\3&1&2\end{vmatrix}$ ，矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\3&1&2\end{pmatrix}$ ；

①行列式是一个数，矩阵是一个表

②行列式是 $n×n$ 阶，矩阵是 $n×m$ 阶（$n$ 和 $m$ 可以不相等也可以相等）

③ $\lambda\vert A\vert$ 是把行列式某行（列）乘以 $\lambda$ ；$\lambda A$ 是把矩阵里每个元素都乘以 $\lambda$

④行列式加减是数的运算；矩阵的加减只能是同型矩阵，对应元素的加减

⑤矩阵如果是方阵（$n = m$ ）的时，有行列式值

矩阵的乘法:$AB \neq BA$

2、转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵

1）转置矩阵 ($A^{\text{T}}$ )

就是行变列、列变行

$\boldsymbol{ A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\3&1&2\end{pmatrix},\quad A^{\text{T}}=\begin{pmatrix}1&1&3\\2&3&1\\3&4&2\end{pmatrix} }$

2）伴随矩阵 $A^{*}=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}$

3）单位矩阵 E： $E = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ $E = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ $|E| = 1$ $EA = AE = A$

4）逆矩阵 $A^{-1}$

$AB = BA = E$则$B$为$A$得逆矩阵，记$B = A^{-1}$；即： $AA^{-1} = E$ 公式： $A^{-1} = \frac{A^{*}}{\vert A \vert}$ 可逆得充要条件$\vert A \vert \neq 0$

3、矩阵的行列式运算

一些重要的运算性质:$|kA| = k^n|A|$ 、 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$、 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$ 、 $|A^{*}| = |A|^{n - 1}$ 、 $A^{*} = |A|A^{-1}$、 $|AB| = |BA| = |A||B|$

初等行变换

1、初等行变换

①换行 ②倍乘 ③倍加 三种运算

变换用箭头连接而非等号，换行后，矩阵前不会加负号。

倍乘时，也并不会在前面提出一个系数。

阶梯形矩阵的特征 1. 若有全零行，则全零行位于最下方 2. 每个阶梯首项为主元，主元依次往右 3. 阶梯形不唯一

最简形 ①主元为1 ②主元所在列的其他元素都为0 ③最简形是唯一

2、求逆矩阵

题1. 若 $A = \begin{pmatrix}1&1&-1\\2&1&0\\1&-1&0\end{pmatrix}$ ，求 $A^{-1}$ 。$(A\vdots E)\longrightarrow(E\vdots A^{-1})$ 只需将A通过初等行变换，变为单位矩阵$E$，则右边的矩阵就是$A^{-1}$

题2. 若$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ 求$A^{-1}$

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad$ $A^{-1}$ = $\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 主对调，次反号，除以值

题3. 设 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$，且 $AX = A + 2X$，求 $X$ 解：$AX = A + 2X \Rightarrow AX - 2X = A \Rightarrow (A - 2E)X = A$

通过像题1，将$(A - 2E)$化为单位矩阵，则右边的矩阵即为$X$

3、矩阵的秩

矩阵的秩即为主元的个数

秩的性质如下：

1. $A_{m \times n} \quad R(A) \leq \min\{m, n\}$
2. $A$ 为方阵 $R(A) = n \Leftrightarrow |A| \neq 0 \quad R(A) < n \Leftrightarrow |A| = 0$
3. $R(A^T) = R(A) = R(kA) \quad (k \neq 0)$
4. $R(AB) \leq R(A) \quad R(AB) \leq R(B)$

向量

1、向量组

向量组：由若干个向量组成的集合，通常记为 ${v_1, v_2, \dots, v_n}$。

2、线性相关

① 存在一组不全为0的数 ( $k_1, k_2, \cdots k_m$ )，使$k_1a_1 + k_2a_2 + \cdots + k_ma_m = 0$则称向量组$a_1, a_2, \cdots a_m$ 线性相关，否则线性无关。

② 若$R(a_1, a_2, \cdots a_m) < m$，则向量线性相关若$R(a_1, a_2, \cdots a_m) = m$，则向量线性无关。

③ 极大无关组

阶梯型矩阵最简形的主元所在列是极大无关组

解方程组

1、齐次线性方程组

方程右边全为0，称为齐次线性方程组。求解一般分为三步:判断解的情况、求解向量、表示通解

先写出系数矩阵，然后将其化简为最简形的阶梯矩阵。

判定：系数矩阵$A$

$R(A) = n$只有零解

$R(A) < n$有无穷多解且有 $n - R(A)$个解向量

通解即通过系数将解向量连接起来

1、自由变量不能全为零 2、不同的解向量线性无关

2、非齐次线性方程组 $Ax = \beta$

题2. 求非齐次线性方程组$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 - x_4 = 1 \\ 2x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4 \\ 4x_1 + 3x_2 - x_3 - x_4 = 6 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 - 4x_4 = -1 \end{cases}$ 的解。

写出增广矩阵$(A:\beta)$，并进行初等行变换

1. 无解

$R(A) \neq R(A:\beta)$

1. 有唯一解

$R(A) = R(A:\beta) = n$

1. 有无穷多解

$R(A) = R(A:\beta) < n$

• $A$ 是系数矩阵
• $(A:\beta)$ 是增广矩阵
• $R(\cdot)$ 表示矩阵的秩
• $n$ 是未知数的个数

非齐次方程通解$X$ $X=$(齐次通解+非齐次特解)

特征值、特征向量、对角化

1、求特征值、特征向量

• 给定方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$。
• 如果存在标量 $\lambda \in \mathbb{R}$，和非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，使得：

则称：

• $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值 (eigenvalue)，
• $x$ 是对应的特征向量 (eigenvector)。

题目：求矩阵$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$的特征值 即求解$|A−λE|=0⇒λ$ 得到的$\lambda$即特征值。

求特征向量即$(A−λ_{i}E)x=0$的基础解系

2、相似对角化

若方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，存在可逆矩阵 $P$，使得

其中 $D$ 是对角矩阵，则称 $A$ 与 $D$ 相似，称 $A$ 可相似对角化。

解题方法：

①求特征值($\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m$) ②求基础解系($a_1,a_2\cdots a_m$) ③($P=(a_1,a_2\cdots a_m$)) $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_1&&&\\&\lambda_2&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_m\end{pmatrix}$

相似对角化的条件:

一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 可以相似对角化，当且仅当 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

3、正交相似对角化

解题方法:1、求特征值 2、求基础解系 3、正交化 4、单位化

正交：两个向量垂直

对称矩阵：不同特征值对应的特征向量是正交的

施密特正交化:$a_1a_2$

$b_1 = a_1$，$b_2 = a_2 - \frac{[a_2, b_1]}{[b_1, b_1]} \cdot b_1$

单位化：除以其值即可

4、特征值的性质

①$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} \quad \text{（矩阵的迹：trA）}$

②$\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \cdots \cdot \lambda_n = |A|$

③ 若 $A$ 的特征值为 $\lambda$，则：

二次型

1、二次型

二次型与二次型矩阵的关系

对于 n 元二次型 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，其一般形式可表示为:$f = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j \quad (a_{ij} = a_{ji}$) 对应的二次型矩阵 A 是一个 n 阶对称矩阵（满足 $A^T = A$），其中：

• 主对角线元素 $a_{ii}$ 是$x_{i}^2$项的系数
• 非主对角线元素 $a_{ij} \ (i \neq j)$ 是$x_ix_j$ 项系数的一半,因为$x_ix_j$ 会被拆分为$a_{ij}x_ix_j + a_{ji}x_jx_i$，且$a_{ij} = a_{ji}$。

2、求正交变换、化标准型

步骤：1、二次型矩阵 2、求特征值 3、求基础解析 4、正交化 5、单位化

3、顺序主子式

通过其判断二次型是否正定

定义：取矩阵前 $k$ 行、前 $k$ 列构成的子式：

依次得到：

• $\Delta_1 = a_{11}$
• $\Delta_2 = \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$
• $\Delta_3 = \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$
• … 直到 $\Delta_n = \det(A)$。

顺序主子式与正定性（西尔维斯特判别法）

对于对称矩阵 $A$，二次型 $x^T A x$ 正定性的判别方法：

• 正定 ⟺ 所有顺序主子式 $\Delta_1, \Delta_2, \dots, \Delta_n > 0$
• 负定 ⟺ 顺序主子式 $\Delta_1 < 0, \Delta_2 > 0, \Delta_3 < 0, \dots$（符号交替）

概率论